Uma breve ideia sobre derivadas
Para aqueles que não estão familiarizados com o conceito de derivada, a primeira ideia que devemos ter é que elas estão ligadas ao problema de determinar retas tangentes a uma curva qualquer. Uma reta tangente é aquela que toca a curva em um único ponto, e para cada ponto de uma curva existe uma única reta que lhe é tangente, esse fato é conhecido desde a Grécia antiga. Observemos a seguir algumas ilustrações para que fique claro o que é uma reta tangente:
Observem esta circunferência com centro O, se olharmos o ponto P perceberemos que existe uma única reta que passa por ele e ao mesmo tempo em um único ponto da circunferência, que no caso está representada em vermelho, esta reta então é tangente à circunferência em P. Quero ainda chamar atenção para o seguinte fato, o segmento OP é perpendicular à reta tangente, ou seja, entra elas há um ângulo de 90º (ou π/2 radianos). Sempre que uma reta for perpendicular à reta tangente, chamamos esta de reta normal ao ponto. Então aqui aprendemos 2 conceitos importantes: se uma reta toca a curva em um único ponto, a chamamos de reta tangente ao ponto, e a reta que passa por este ponto formando um ângulo de 90º é chamada de reta normal ao ponto. Observemos a próxima imagem:
Neste caso vemos que a reta s em vermelho toca em dois pontos da circunferência, A e B, portanto não se trata de reta tangente, quando uma reta toca uma curva em 2 pontos, a chamamos de reta secante aos pontos. No nosso caso de derivadas, as retas que mais nos interessam são as tangentes, espero que com estes 2 exemplos tenha ficado claro a diferença entre retas tangentes, normais e secantes.
Agora que sabemos que as derivadas estão ligadas a questão das retas tangentes e sabemos que uma reta tangente é aquela que toca a curva em um único ponto, podemos prosseguir.
Arquimedes e Apolônio na Grécia Antiga, foram pioneiros em estudar retas tangenciando parábolas, desenvolvendo métodos para os cálculos de tais. Os gregos tinham interesse matemático sobretudo pela questão geométrica. Na Europa da Idade Moderna floresceu novamente o interesse pelo cálculo de tangentes à curvas, mas devido ao nascimento da geometria analítica os europeus deram maior ênfase a questão algébrica, possibilitando assim uma verdadeira revolução tanto no conceito de derivadas, como no número de curvas conhecidas. Mas porque tanto empenho se deu pelo simples fato de se calcular tangentes à curvas? Porque vários problemas práticos dependiam disso para serem resolvidos. Johannes Kepler, grande astrônomo alemão, responsável pelas leis que levam seu nome e descrevem leis dos movimentos dos planetas, percebeu que os movimentos dos corpos celestes só poderiam ser descritos, caso se pudesse calcular suas tangentes. O reaparecimento e a evolução do cálculo de derivadas se deve a inúmeros matemáticos, foi uma ação conjunta, e não isolada, podemos citar além de Kepler, Arquimedes e Apolônio, Torricelli, Barrow, Newton, Leibniz, Euler....e uma lista infindável de grandes mentes. Citarei o caso de Newton, que quando se viu diante das leis de Kepler e precisava explicar como a gravidade agia nos corpos e tentar explicar os movimentos dos corpos e suas causas, foi preciso interromper seu trabalho em física e enfrentar os desafios matemáticos ligados com a questão das tangentes e das áreas para que então pudesse explicar seus questionamentos físicos.
Mas então, o que é derivada?
Falamos até agora que a derivada está ligada ao problema de cálculos de retas tangentes à curvas, mas afinal, o que é derivada? O conceito que hoje temos de derivada foi introduzido no século XVII quase simultaneamente pelo alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) e pelo inglês Sir Isaac Newton (1642-1727), trabalhando separadamente. Vamos dar o detalhamento matemático logo a seguir, mas antes queria adiantar que você precisa ter em mente que a derivada além de estar relacionada com as tangentes, está ligada ao conceito de função. Quando eu coloco uma grandeza dependendo de 1 ou mais grandezas, tenho um exemplo de função, portanto, posso associar as funções uma equação ou regra (álgebra) e uma curva (geometria), além de determinar tangentes geometricamente às curvas, posso também determinar de forma algébrica, sem nem mesmo sabermos qual a forma da curva estudada. Com isso, podemos então estabelecer de forma simples, que a derivada de uma função, em um determinado ponto é a inclinção (coeficiente angular) da reta tangente ao ponto. Não compreendeu? Bem, se eu tenho uma função qualquer, e quero saber a tangente em um determinado ponto dela, basta se determinar o coeficiente angular da tangente aquele ponto, ou seja, calcular derivadas é a mesma coisa que calcular os coeficientes angulares das retas tangentes aos pontos. Antes de mostrarmos como se calcula derivadas, vamos relembrar como se determina o coeficiente angular ou inclinação de uma reta. Observe a figura:
Temos uma reta que passa por 2 pontos: P1 e P2. Colocando um referencial cartesiano, vemos que neste caso P1 tem coodernadas (X1,Y1) e P2 coordenadas (X2,Y2). O que desejamos agora é achar uma função que descreva esta reta, como faremos isso? Usando de trigonometria básica, observemos novamente a figura, mas com um olhar diferente:
Agora vemos que traçando uma paralela ao eixo X e outra paralela a Y, temos um triângulo retângulo, iremos considerar o ângulo α formado entre a reta e a paralela ao eixo X (lembre-se sempre disso). Sabemos que a tangente de um ângulo é determinada em um triângulo retângulo como sendo a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Então vamos calculá-la:
Observem que o cateto adjacente possui tamanho (X2-X1) e o oposto (Y2-Y1). Vamos agora fazer a seguinte mudança de notação:
Então teremos que:
Observem que agora temos uma função, onde Y é a variável que depende de X, com a e b constantes. Por se tratar de uma função, faremos a seguinte mudança de notação:
Esta é a função de uma reta qualquer. Isso é útil para relembrarmos, porque iremos ter que determinar a reta tangente a um ponto da curva e sua respectiva derivada. Lembram-se que a derivada é dada pelo coeficiente angular da reta tangente? Pois então, observando a função que chegamos percebemos que o coeficiente angular da reta é o a, e o b é o coeficiente linear, a indica justamente a derivada no ponto, e b onde a reta corta graficante o eixo Y. Com estas informações vamos então calcular agora a derivada.
Consideremos uma função f contínua e definida num intervalo ]a, b[; sejam xo e xo + ∆x dois pontos desse intervalo. Quando a variável x passa do valor xo para o valor xo + ∆x sofrendo uma variação ∆x (incremento de x), o correspondente valor da função passa de f(xo) para o valor f(xo + ∆x) sofrendo, portanto, uma variação ∆y (incremento da função f), onde ∆y = f(xo + ∆x) – f(xo) conforme mostra a figura seguinte:
Observamos aqui que se eu quiser calcular a derivada de forma aproximada em um ponto qualquer (xo), que possui uma imagem f(xo), basta se dar um acréscimo Δx a este ponto, portanto terei o ponto xo + Δx, que por sua vez possui imagem f(xo+ Δx). Vejam ainda que a figura que eu tenho se aproxima de um triângulo retângulo, com cateto adjacente Δx e cateto oposto f(xo+ Δx)-f(xo), que para efeitos de notação pode ser escrito como Δy. O único problema é que não se trata de um triângulo retângulo, pois apesar dos 2 catetos não tenho um hipotenusa, porque o segmento que liga os catetos é uma curva e não uma reta, por isso podemos escrever de forma aproximada que a tangente do ângulo do 'quase triângulo retângulo' entre a 'quase hipotenusa' e o cateto adjacente (paralelo ao eixo X) será:
Vejam que terei uma aproximação cada vez melhor, caso faça o Δx cada vez menor, porque quanto menor for a curva, mais ela se aproximará de uma reta e também de um triângulo retângulo e então menor será meu erro ao calcular a derivada no ponto xo. Então você me pergunta, será possível calcular a derivada de uma função em um determinado ponto de forma exata ou apenas aproximada? Bem é sim possível calcular de forma exata. Pense o seguinte: se você pudesse fazer o Δx tão pequeno, ao ponto que ele chegasse no limite de alcançar o ponto xo+Δx, ou seja quando o Δx tendesse a zero? Neste caso a curva seria exatamente um segmento de reta, e teríamos uma 'hipotenusa de verdade' e consequentemente um 'triângulo retângulo de verdade', o que faria o erro ser zero, e termos o valor exato da derivada. Em termos matemáticos, se a função for limitada e contínua no ponto, posso perfeitamente calcular a derivada, entenda por contínua algo que não dá 'saltos', que não possui 'falhas' e limitada, algo que possui um limite, limite como disse antes é basicamente pensar no ponto final que antecede o ponto que se quer chegar, parece uma idéia absurda pois sabemos que existem infinitos pontos entre 2 pontos, mas não é. Em outra oportunidade discutirei a questão lógica da idéia de limite, para o que desejamos aqui nesta aula, você só tem que conceber que o limite é a 'iniminência' de se chegar a um ponto específico, se o limite do Δx tender a zero, chegaremos exatemente neste ponto. Em notação matemática temos que:
Agora temos o valor exato da derivada no ponto xo. f´(xo) é a notação usada para a derivada de uma função em um determinado ponto. Temos ainda outras notações: y´, dy/dx, df/dx. Já a notação Δx→0 indica que o valor de Δx está se aproximando infinitamente de zero, ou em outras palavras, tendendo a zero. Ela é utilizada para se calcular limites.
Bem, chegamos ao final da primeira parte, espero que tenha sido útil. Na segunda parte me focarei em calcular derivadas de funções usando a definição de derivada, que foi onde paramos hoje. Forte abraço a todos e fiquem em paz.
